318. feladvány: Kedvezménykártyák Egy üzlet a következő kedvezményt adja vásárláskor.

Ötven egyforma hátoldalú kártyát kevernek össze, mindegyiken százalékos kedvezmény szerepel 1-től 50 százalékig, egyesével növekvő értékben, tehát minden kedvezményből pontosan egy kártya van.

Ha valaki elkötelezte magát a vásárlás iránt, fizetés előtt két lehetőség közül választhat: A: Véletlenszerűen kihúz két kártyát az ötvenből, és a nagyobbik kedvezményt felhasználhatja.

B: Véletlenszerűen kihúz öt kártyát az ötvenből, de a legnagyobb értékűt vissza kell adnia, a megmaradt négy közül pedig a legnagyobbat felhasználhatja.

A húzások visszatevés nélkül történnek.

Csak egy kártya kedvezménye érvényesíthető.

Meg lehet mondani, hogy átlagosan mekkora kedvezményt fog adni így a bolt?

Ha a vevők választásától függne az átlagos kedvezmény, akkor nem lehetne megmondani, de ha mindkét esetben egyforma az átlagos kedvezmény, akkor a vevők választása lényegtelen a bolt számára.

Próbáljuk tehát belátni, hogy az átlagos kedvezmény mindkét esetben ugyanakkora!

Ehhez pedig koncentráljunk a kihúzott értékek közti hézagokra!

A kedvezményszámokat képzeljük el egy számegyenesen, és tegyünk melléjük két segédpontot, a nullát és az 51-et .

Ilyen módon k ét kihúzott szám három részre osztja a [0,51] szakaszt.

Tegyük fel, hogy a kihúzott x és y szám közül x a kisebb.

Ekkor a három részre osztott szakasz darabjainak hossza: x, y-x és 51-y.

Könnyen belátható, hogy ezeknek a hézagoknak az átlagos hossza egyforma.

Hogyan lehet ezt belátni?

Vegyünk egy tetszőleges D hézagtávolságot, a példa kedvéért legyen D = 10.

Nézzük meg milyen (x,y) párok esetében lehet az első hézag nagysága D, mikor lehet a második hézag nagysága D, illetve a mikor lehet a harmadik hézag nagysága D.

D = 10 esetén a bal oldali hézag ezeknél a pároknál lesz megfelelő nagyságú: ( 10,11), (10,12), ..., (10,50).

A középső hézag ezeknél: (1,11), (2,12), ..., (40,50), a jobb szélső hézag pedig ezeknél: (1,41), (2,41), ..., (40,41).

Ezek mindegyike 40 darab lehetőség, és a különböző párok előfordulási valószínűségei egyformák.

Tehát a hézagok egyforma valószínűséggel D nagyságúak, de ez minden D-re igaz, ezért az átlaguk is egyforma.

Mivel az 51 hosszú szakaszt osztjuk három részre, ezért az átlag 51/3 = 17.

De a nagyobbik számig két hézagot lépünk, ezért az átlagos helye 2·17 = 34 .

Amikor öt kártyát húzunk, a helyzet hasonló, csak ott hat hézag keletkezik, ezért a hézagok átlagos hossza: 51/6 = 8,5, és a második legnagyobb számig négy hézagot lépünk, ezért az átlagos hely e 4·8,5 = 34.

Vagyis a várható kedvezmény értéke egyforma a két esetben.

Ez azt jelenti, hogy a vásárló akármelyik lehetőséget is választja, a bolt hosszú távon ugyanakkora átlagos kedvezményt ad vásárlónként.

A két választás csak a varianciában különbözik egymástól; ha valaki szeretné megadni a lehetőséget például az 50 százalékos kedvezménynek, akkor ne válassza a B lehetőséget, mert abban az esetben soha nem kaphatja meg.

Ha szereted a fejtörőket, tekintsd meg korábbi feladványainkat is.

Ha megjegyzésed lenne, vagy feladványt javasolnál, írj az eszventura@qubit.hu e-mail címre.

Ha pedig tetszik a rovat, akkor ezt a Vendégkönyvben kifejezésre juttathatod.

Az Ész Ventura feladványügyi rovat gazdája: Gáspár Merse Előd fizikus, kognitív kutató, társasjáték-fejlesztő és bűvész. ]]>