A geometria görög eredetű szó, földmérést jelent; az ókori görög hagyomány magának a geometriának a kialakulását az egyiptomi földméréshez kötötte.
Az ókori Egyiptomban a földmérés ugyanis különösen fontos gyakorlati feladat volt a Nílus rendszeres áradásai miatt.
A folyó évről évre elöntötte a környező földeket, termékeny iszapot hagyva maga után, eközben viszont gyakran elmosta a határjeleket.
Az áradás levonulása után ezért újra meg kellett állapítani a földterületek határait.
Hérodotosz az i. e. 5. században arról is beszámolt, hogy ha a Nílus elvett valamennyit egy birtokból, az uralkodó felmérette, hogy mennyivel csökkent a terület, és ennek megfelelően állapították meg a fizetendő adót.
A görög történetíró szerint ebből a földmérési gyakorlatból alakult ki a geometria, amely később Egyiptomból jutott el a görögökhöz.
Az egyiptomi geometriai ismereteknek írásos emlékei is fennmaradtak: a mintegy 3500 éves Rhind-papirusz több mint nyolcvan mindennapi élethez köthető matematikai feladatot tartalmaz, köztük geometriai és területszámítási problémákat. 317. feladvány: Az elmosott sarkok Egy egyiptomi földbirtok alakja ötszög volt.
A birtok öt sarkában és az oldalak felezőpontjaiban is határkövek álltak.
A Nílus áradása azonban elmosta mind az öt sarokkövet, a felezőpontokban lévő kövek viszont megmaradtak, és a rajtuk lévő jelek alapján az is tudható, hogy melyik kő melyik oldalhoz tartozott.
A helyükön megmarad kövek alapján képes lehet a földmérő újra kimérni a birtok határait, vagyis meghatározni, hogy hol vannak a birtok sarkai?
Az ötszög csúcsait szomszédos felezőpontokra tükrözve egy szomszédos csúcsba jutunk.
Hogyan tudjuk ezt kihasználni?
Vegyünk fel a síkon egy teljesen tetszőleges P pontot.
Tükrözzük P-t az egyik felezőpontra, majd az azzal szomszédos felezőpontra, és így tovább rendre a felezőpontokra.
Ha mindegyikre tükröztük sorban, akkor az öt tükrözés után kapott pont legyen Q.
Ha véletlenül visszaérkeztünk volna, azaz P = Q lenne, akkor P a keresett ötszög egyik csúcsa lenne.
Ha viszont P és Q különbözik, akkor a PQ szakasz felezőpontja lesz a keresett ötszög egyik csúcsa.
A bizonyítás nagyon egyszerű és elegáns.
Ismert és könnyen belátható, hogy páros sok középpontos tükrözés egymásutánja eltolást eredményez, páratlan sok középpontos tükrözés egymásutánja pedig egy középpontos tükrözést.
Öt egymást követő középpontos tükrözés eredménye tehát egyetlen pont körüli tükrözés.
Ennek viszont egyetlen helyben maradó pontja van: a tükrözés középpontja.
Ha viszont a tetszőleges P pont képe Q, akkor a szóban forgó középpont éppen az PQ szakasz felezőpontja, ami tehát az öt egymás utáni tükrözés alkalmazása után helyben marad.
Érdekes, hogy a fentiekből azt is láthatjuk, hogy páros oldalszám esetén – például négyszögnél vagy hatszögnél – a felezőpontok nem határoznák meg egyértelműen az eredeti sokszöget.
A felezőpontokból tehát egy ötszög eltűnt sarkai pontosan helyreállíthatók, miközben egy négyszög esetében ugyanez az információ nem elegendő.
Ha szereted a fejtörőket, tekintsd meg korábbi feladványainkat is.
Ha megjegyzésed lenne, vagy feladványt javasolnál, írj az eszventura@qubit.hu e-mail címre.
Ha pedig tetszik a rovat, akkor ezt a Vendégkönyvben kifejezésre juttathatod.
Az Ész Ventura feladványügyi rovat gazdája: Gáspár Merse Előd fizikus, kognitív kutató, társasjáték-fejlesztő és bűvész. ]]>
Vélemények és hozzászólások
Vitatkozz a témáról kulturáltan. A hozzászólásokra a közösségi irányelveink és az adatvédelmi tájékoztató vonatkozik.