316. feladvány: Az elmetszett papírcső Készítsünk papírból hengert, azaz tekerjünk fel egy papírt – akár többrétűen – üreges csővé, majd szike segítségével egy gyors mozdulattal metsszük el ferdén a hengert!

Nem kell igazából megcsinálni, de ha mégis, akkor vigyázzunk a kezünkre, nehogy megvágjuk magunkat!

Milyen lesz a papír széle ha kihajtjuk a papírt?

Matematikai pontossággal meg tudjuk nevezni a kapott görbét?

A metszet tetején a papír rövidebb, az alján maximális a hossza, ha tehát több réteges a cső, akkor a kihajtott papír széle egy hullámzó görbe lesz, amely egy minim és maximum érték között váltakozik.

Mit sejtünk ebből?

Állítsuk fel a hengert függőlegesen, úgy, hogy a ferdén elmetszett vége legyen felül.

Jelöljük a henger sugarát R-rel.

A vágás síkjának hajlásszöge a vízszinteshez képest legyen α.

Ezt ugye abban a függőleges síkban mérjük, amelyben a vágási sík a legmeredekebben emelkedik.

Ha ebben az irányban vízszintesen egy egységet haladunk, akkor a vágási sík tan(α) egységet emelkedik.

A vágási sík valahol metszi a henger függőleges tengelyét, nevezzük ezt a pontot O-nak.

Képzeljük el az O ponton átmenő vízszintes síkot, ehhez viszonyítjuk majd a vágás szélének magasságát, amit y-nal jelölünk.

Az y magasság koordináta tehát pozitív az O-n átmenő vízszintes referencia sík fölött, és negatív a referencia sík alatt.

Most nézzünk rá felülről a hengerre.

Ebből az irányból a hengert egy R sugarú körnek látjuk, a vágási g örbe pontjait pedig a pontba húzott sugár forgásszögével tudjuk jellemezni.

Mérjük ezt a ϕ forgásszöget a vágás legmagasabb pontjától, vagyis ott legyen ϕ = 0.

Ekkor a vágás legalacsonyabb pontjában ϕ = π.

A kör adott pontjának a vágási sík emelkedési irányába eső vízszintes távolsága R·cos(ϕ).

De mivel a sík minden vízszintes egység alatt tan(α) egységet emelkedik, ezért a vágás szélének magassága: y = R·tan(α) ·cos(ϕ).

Eddig még a hengeren haladtunk körbe.

Most képzeletben vágjuk fel a papírt egy függőleges alkotó mentén, és terítsük ki síkba.

Ha a henger kerületén ϕ szöggel fordulunk el, akkor a paláston megtett út x = R·ϕ, ez lesz a kiterített papíron a vízszintes távolság.

A magasság pedig nem változik a papíron se, x függvényében így írhatjuk: y(x) = R·tan(α)·cos(x/R), ami megfelelő egységekben egy koszinusz görbe.

A koszinusz pedig ugyanaz a görbe, mint a szinusz, csak vízszintesen egy negyed periódussal eltolva.

A kih ajtott papír széle tehát szinuszhullám alakú, a hullámhossza pedig a henger kerülete.

Az az érdekesség tehát, hogy ami a térben egy ellipszis, az a papíron szinuszgörbe.

Ha valaki tökéletes szinuszt szeretne rajzolni egy papírra, a legjobb módszer az, ha hengerré hajtja a papírját, és elmetszi egy síkkal!

Ha szereted a fejtörőket, tekintsd meg korábbi feladványainkat is.

Ha megjegyzésed lenne, vagy feladványt javasolnál, írj az eszventura@qubit.hu e-mail címre.

Ha pedig tetszik a rovat, akkor ezt a Vendégkönyvben kifejezésre juttathatod.

Az Ész Ventura feladványügyi rovat gazdája: Gáspár Merse Előd fizikus, kognitív kutató, társasjáték-fejlesztő és bűvész. ]]>