Le lehet-e tenni pontokat a síkra úgy, hogy akárhogy választjuk ki a negyedüket, már lesz közöttük kettő egységnyi távolságra?

Ezt a kérdést tette fel évtizedekkel ezelőtt Erdős Pál világhírű matematikus, amit idén nyáron Varga Dániel és hallgatója, Dúcz Ákos meg tudtak válaszolni, bebizonyítva, hogy létezik ilyen véges ponthalmaz.

A két kutatóval szeptember közepén találkoztunk egy budapesti kávézóban, néhány nappal azután, hogy az OpenAI bejelentette az egyik legjelentősebb matematikai probléma mesterséges intelligenciával történő megoldását, és az AI-cégek vezetői egymásra licitálva kezdtek a fejlesztések lassításának szükségessége mellett érvelni. „A matematika nincs bajban, fantasztikus eredmények fognak születni.

Abban már kevésbé vagyok optimista, hogy mi, a matematika művelői is jól vészeljük át a drámai változást” – mondta Varga, a HUN-REN Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet tudományos főmunkatársa, amikor az AI matematikára gyakorolt hatásairól kérdeztük. „Most vagyunk abban az időszakban, amikor nagyon jól együtt tudok dolgozni a mesterséges intelligenciával, és még én irányítom, hogy mit csináljunk” – mondta Dúcz, az intézet fiatal kutatója.

A matematikusok a mesterséges intelligenciát segédeszközként használták a kutatásuk során: szoftvereket írtak vele, hogy kérdéseiket meg tudják válaszolni.

Bár az AI-nak nem volt kreatív hozzájárulása, Varga szerint felgyorsította a kutatási folyamatot azzal, hogy gyorsan ki tudtak próbálni ötleteket, és az AI egyik válasza annyira megdöbbentő volt egy számolási kérdésre, hogy az a probléma megoldása felé is fontos lépésnek bizonyult.

Dúcz, aki a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem (BME) mérnökinformatikus szakának negyedéves hallgatója, még harmadéves alapszakos hallgatóként kezdett Vargával dolgozni, amikor szakmai gyakorlatot keresett.

Az intézet tudományos főmunkatársával elméleti matematikai problémák megoldásán szeretett volna együtt dolgozni, amiből keletkezett egy tudományos diákköri munka (TDK) és az 1070-es számú Erdős-probléma részleges megoldása.

Szondákkal tapogatják le a végtelen halmazokat Ez a részleges megoldás Varga és kollégáinak korábbi, 2023-as munkájából nőtt ki.

Ekkor a matematikus Ambrus Gergellyel, Csiszárik Adriánnal, Matolcsi Mátéval és Zsámboki Pállal megoldotta a 232-es Erdős-problémát , bizonyítva, hogy a sík negyedét nem lehet kiszínezni anélkül, hogy egységtávolságú párok jönnének létre.

Ezek teljes mértékben elméleti matematikai problémák, mondta Varga, de a rajtuk való munkát az motiválja, hogy más, megoldásra váró problémákkal függenek össze.

Egy ilyen az érintő gömbök problémája (kissing number problem), aminek megoldásán 1694-ben vitatkozott egymással Isaac Newton angol tudós és David Gregory skót matematikus.

Newton amellett érvelt, hogy 12 golyót lehet úgy elhelyezni egy központi golyó körül, hogy mindegyik hozzáérjen a középsőhöz, míg Gregory azt állította, hogy akár 13 is elférhet.

Aztán egészen a 20. századig kellett várni, hogy matematikusok bizonyítsák: Newtonnak volt igaza, de magasabb dimenziójú, például ötdimenziós gömbök esetén továbbra is nyitott kérdés, hogy hány darab fér el a központi golyó körül.

Vargáék abban reménykednek, hogy a Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézetben kidolgozott eszközkészlettel ennek a problémának a megoldására is lehet esélyük.

A módszer abból az alapötletből indul ki, hogy végtelen halmazokat úgy próbálnak letapogatni, hogy véletlenszerűen ledobálnak rá egy végeset, és ez szabályszerűségeket tár fel.

Ez kulcsszerepet játszott az 1070-es Erdős probléma megoldásában is, és már a matematika több különböző ágában sikerrel alkalmazták.

A végtelen halmazok letapogatását végző véges halmazokat szondának nevezték el.

Nagy számítási kapacitást felhasználva keresnek olyan szondákat, amelyek minél pontosabb képet adnak a vizsgált végtelen halmazok sűrűségéről.

Ha például arra kívánnak választ kapni, hogy egy sík mekkora része festhető be egységtávolságú párok létrejötte nélkül, akkor az általuk talált szonda elég alaposan le tudja tapogatni a végtelen halmazt ahhoz, hogy megállapítsa, a síknak legfeljebb a negyedét teszi ki.

Annak kiderítéséhez, hogy mennyire jó az adott szonda, a számítógépnek egy hatalmas, több százezer változót tartalmazó egyenlőtlenségrendszert kellett megoldania.

Dúcz azonban kidolgozott egy módszert, amivel a teljes egyenlőtlenségrendszer újbóli megoldása nélkül, negyed óra helyett néhány másodperc alatt meg tudták állapítani egy-egy új pontról, hogy érdemes-e hozzáadni a 27 csúcsú szondához, aminek köszönhetően több tízezer lehetséges pontot tudtak megvizsgálni.

Végül egy olyan, 29 csúcsú ponthalmazt hoztak létre, amire igaz, hogy sok-sok eltolt-elforgatatott példánya együtt már kielégíti Erdős feltételét.

A kutatók azért csak részben válaszolták meg az 1070-es problémát, mert Erdős kérdésének első felét, vagyis hogy legalább mekkora hányada választható ki a síkon elhelyezett pontoknak úgy, hogy ne legyen köztük két pont egységnyi távolságra, nem oldották meg.

Azt, hogy mi lehet ez a legkisebb szám, még valószínűleg a szuperintelligens mesterséges intelligencia sem fogja tudni megoldani, mondta Varga, érzékeltetve, hogy mennyire nehéz problémát vet fel Erdős kérdésének első fele.

Valahol 23 és 25 százalék között lehet ez a szám, mondta Varga.

Tornádóként söpör végig a mesterséges intelligencia a matematikán Amikor a két matematikus júniusban részben megválaszolta az 1070-es Erdős problémát, már abban az időszakban jártunk, amikor az AI-rendszerek is egyre jelentősebb matematikai problémákat kezdtek megoldani.

A ChatGPT-t fejlesztő OpenAI május 20-án jelentette be , hogy egy belső használatú érvelő modelljük megoldotta az Erdős által 1946-ban felvetett egységtávolság-problémát, ami azt a kérdést teszi fel, hogy miként lehet nagyon sok pontot lerakni úgy a síkra, hogy minél több legyen köztük az egység távolság.

Varga korábban hónapokat dolgozott a feladvány megoldásán. „Én sose tudtam volna kitalálni, amit ők kitaláltak – mondta a matematikus, aki a bejelentést vízválasztónak nevezte. – Ha korábban bármi kételyem lett volna arról, hogy ezek a gépek okosabbak nálam, abban a pillanatban nem volt tovább”.

Ebbe a folyamatba illeszkedett Varga szerint az úgynevezett millenniumi problémák közé tartozó Navier–Stokes-egyenletek létezési és simasági problémájának nagy vihart kavaró megoldása is, amit szeptember 8-án jelentett be az OpenAI.

A viszkózus folyadékok áramlását leíró egyenleteket egy, a GPT–6 Astránál jelentősen fejlettebb belső használatú AI-modellel és annak 10 ezer ágenst számláló ágensrajával oldotta meg a cég, feltehetőleg több millió dollárnak megfelelő számítási költségen.

A bejelentésre árnyékot vetett, hogy cég azután állított rá ekkora erőforrásokat a problémára, hogy pletykák kezdtek terjedni arról, hogy a konkurens Anthropic közel jár a megoldásához – miközben csak arról volt szó, hogy a New York-i Egyetem matematikusa Tristan Buckmaster és az Anthropic egyik alkalmazottja, Levent Alpöge szabadidejükben jelentős előrelépést értek el kapcsolódó folyadékdinamikai problémákon.

Buckmaster azzal vádolta az OpenAI-t, hogy a cég megszerezte a Codex kódolóplatformon folytatott beszélgetéseit, és felhasználta azt a modelljei tanításához – aminek lehetőségét a cég kategorikusan cáfolta a New York Timesnak.

Varga szerint várható volt, hogy a Navier–Stokes-egyenletek lesznek az egyik első milleniumi probléma, amit AI-modellel oldanak meg.

Erre ideális jelöltek voltak, mert a megoldásuk rengeteg aprólékos munkát és a matematikai szakirodalom rendkívül széles körű ismeretét igényelte.

Az, hogy a legfejlettebb AI-modellek nagyon mély tudással bírnak a matematika egészéről, több más probléma megoldásánál is megmutatkozik.

A modellek új ötletekkel is elő tudnak állni, ami Dúcz szerint jellemzően azt jelenti, hogy az emberi matematikusokhoz hasonlóan a meglévő ötletek alkalmazásainak határait tolják ki.

Az akár már hónapokon belül kiderülhet, mondta Varga, hogy az AI-modellek matematikai képességei mennyire bizonyulnak majd hasznosnak anyagtudományi, biológiai vagy orvostudományi kérdések megválaszolásában.

Ezek azok a területek, ahol az AI-cégek vezetői és a politikusok is áttöréseket ígérnek. „Nem a matematikusokat akarják elsöpörni, hanem a rákot és az Alzheimer-kórt” – mondta, vagyis az elméleti matematika csak lépcsőfok nekik a természettudomány meghódítása felé vezető úton.

Ha a pesszimista jóslat jön be, akkor ki fog derülni, hogy a való világ bonyolultabb, mint ami matematikailag jól modellezhető, ha az optimista jóslat, akkor az AI-modellek által a biológiai rendszerek szimulálására használt matematika nagyon is hasznosnak bizonyulhat.

Nem véletlen, hogy a tudományterületek közül a matematikát érte el először az AI-forradalom.

Ez a tudományág általában igen vagy nem kérdésekre egyszerűsíthető, mondta Dúcz, vagyis a modellek megoldásairól könnyen el lehet dönteni, hogy helyesek-e vagy sem.

De ahogy a mesterséges intelligencia hatásai tovább gyűrűznek más területekre és szakmákra, Varga szerint társadalmi szintű válaszokat kell majd rájuk találni.

Vannak olyan matematikusok, tette hozzá, akik szerint kétféle matematika lesz: az egyiket AI-ágensek viszik majd, és nagyon gyors tempóban halad előre, és egy másik, ami a megoldások ember által megérthetővé tételét célozza.

Ez lehetővé tenné, hogy az emberiség a lehető legtöbbet megértse az AI által adott megoldásokból.

Abban Varga szerint egyetértés van a területen belül, hogy a mostani rendszer, amiben matematikusok a kiválóságukat bizonyítják, és pályázatokat, állásokat, díjakat nyernek, a mesterséges intelligencia korában alapvető módosítások nélkül nem lesz fenntartható, de a matematikus közösségnek egyelőre még emésztenie kell a fejleményeket.

Az érdekes kérdés most már az lesz, hogy a drámai változások tükrében hogyan szervezik magukat újra a matematikusok. ]]>